IT自救術－2進位算術運算

在電腦還沒發明以前，人類用10進位的算術，建立了龐大的科學知識，數學、物理、化學、生物學、醫學……。在研究各項科學時，科學家需要進行大量的計算，來證明自己的「假設」是正確的，這是電腦在科學上可能的用途。

至於一般的商業行為上，運算的「份量」可能沒有這麼龐大，但是商業行為牽涉到「金錢」的往來，貨幣的交易與輸送……，需要的是「極端精確」的計算。同樣地，商人也需要電腦，以達成「精確算錢」的目的。

2進位的電腦比較容易設計與製造
所以，無論你是要進行「8 + 5 = 13」這樣的簡單加法，還是要進行8×6.02×1023這樣的科學運算，總之你需要一臺電腦。有了電腦，各種運算就能快速精確。

在此我先複習一下講解過的邏輯概念。

概念上是：數字只是用來代替數值的符號，而數值是抽象的概念。當我們進行各種數學運算時，實際上是利用符號來表達數值的變化。因此，能用10進位進行數學運算，那用2進位也一樣可以做，而且運算的準確度並無二致。

既然人類明明是習慣使用10進位，那為何要麻煩去改用2進位？這只是因為，我們要設計電腦，使用電子裝置來進行「2進位數學運算」會比較容易。如果要使用電子裝置來直接做「10進位數學運算」，那電腦幾乎不可能被設計出來，因為那種電路太複雜、太難設計了。要用電子元件模擬出數學演算，目前人類只能使用2進位的設計。

為什麼不用3進位？4進位？不為什麼，因為那都沒有必要，且一樣會增加設計上的困難度。

總之，經過了長時間的演化與嘗試，電腦得使用2進位的設計，這件事已經被確定了。

2進位的加法
好，底下我們來示範，什麼是「2進位加法」。2進位系統中，只用「0和1」來表示數字，逢2進1，所以才被稱為「2進位」。底下4個算式，用來示範「單一bit的2進位數字相加」（請注意：底下的示範都只使用2進位數字，所以就不標註基底了）：



關鍵在於「1 + 1」的部份。「1 + 1 = 10」是2進位算法，此時要進1。如果能夠理解，接著我們來做一道3位數加法：「101 + 111」：



是不是很容易？「101 + 111 = 1100」，簡單透了！但是，1 + 1此時不等於2而等於10，這時要記得寫0進1。所以，你得非常注意，真正的加法運算其實不只是是「兩個數字相加」，一個完整的「2個數字相加時」，實際上我們得做的常常是「3個數字相加」──因為我們得考慮進位。

完整的加法運算需考慮「進位」這件事
再強調一遍：要設計一臺電腦做「2個數值的2進位加法」，關鍵在於：

● 單一位元的加法，實際上要做的是「3個數值的相加」而不只是「2個」數值的相加，因為要考慮「進位」的問題。

● 雖然單一位元的加法只能處理很簡單，很小的數值的運算（就一個bit而已），但是只要把此功能串連起來，2位元加法、3位元加法？……16位元加法？32位元加法？在「複雜度許可」的範圍內，只要能做出單一位元的加法功能，要做出更長的加法，其實只是相同功能元件的串連延伸而已。

所以，我們要想像一個「加法器」有加法的功能。怎麼設計？先不要管，暫時假設這一個「1位元加法器」只是「黑盒子」，能執行加法的功能。在此先用文字來描述這個1位元加法器，並把1位元加法器分為「不考慮進位」的簡單版，和「要考慮進位」的正確版：

不考慮進位的1位元加法器
會有2個輸入，4種可能性：0 + 0，0 + 1，1 + 0或1 + 1，2個輸出結果，也是4種可能性：0/0、0/1、0/1或是1/0（斜線前面是「進位」，後面是「和」）。

考慮進位的1位元加法器
會有3個輸入（8種可能性，就不列舉了），2個輸出結果（就是「進位」和「和」，也還是4種可能性）。

最有意思的地方在於，要「延長長加法運算的位數」，很簡單，只要把「考慮進位的1位元加法器」串連起來就好啦！

電腦產品的產生流程
以前的人花了很多的時間、精神，才把問題簡化到這種程度，設法做出加法電路出來。只是，只能做加法的話，看起來我們離「做出一顆處理器」的路還很遠。

這個加法電路還有很多問題，像是，「考慮進位的加法器要如何設計？如何製造？」「這個加法器速度很慢吧？因為你一樣得從左至右，一個位元一個位元的計算，才能得到最後的結果。」「這是加法，那減法呢？浮點數呢？」老實說，這些問題並非不重要，我也不一定懂，不過各位可以從這些「過程中」了解到，電腦硬體（或是其他產品）的「產生過程」大概像是下面這樣的流程：

從需求產生想法
有人想要製造一臺電腦，可以進行10進位的各種運算，以解放繁瑣的運算工作。

簡化問題
結果發現上述作法行不通，於是聰明的人類改變想法，並發現可以設計只用2進位進行運算的電腦，一樣可以用來模擬10進位演算。

把問題切小並設法解決解決小問題（divide & conquer）
一下子就要做出「加減乘除全都會算的電腦」沒那麼容易，那就先從加法開始，先試著設計「1個位元」的加法器。

把單純的解法組合起來，看是否能解決複雜的問題
然後設法把1個位元的加法器組合起來，做出一個多位元的加法器。

設計、製造、測試
根據前面找尋答案的結果，設計產品並進行製造，然後進行測試，看看產品是否能達成原先的設計目標。就像是，做出一個16位元的加法器，試著做做看算術，觀察能否得到正確的答案。

除錯
若是產品成功，「可以正確又快速得到加法的答案了」，則開香檳慶祝；若是失敗，則重複檢視之前的各種「找尋答案」的過程，設法找出失敗的原因，並移除之。

反覆進行最佳化
就算產品可以運作，也許還是會有各種「不理想」，像是「加法進行得很好，但是不會減法」，或是「加法的速度進行得很慢」，那就還得精益求精，設法解決這些「不理想」的情況。像是「效能問題」、「品質問題」。所謂「世事無絕對──但是絕對還有更好的辦法解決問題」（真是矛盾的說法？）。當然，要不是「有利可圖」，廠商又哪會絞盡腦汁，設法讓產品不斷進步？

因此，我們理解了「加法器的原始想法」之後，接著就是要研究，「如何設計出加法器」。

邏輯運算三元素
事實上，當然，我現在用「倒敘法」講的，就是計算機組織裡面的一門科目，稱為「數位邏輯設計」。這門課一開始就會教你一些基本的原理，其中一個原理稱為「邏輯運算」。邏輯運算中有三個基本運算，分別是「或（OR）」、「且（AND）」和「反（NOT）」。數位邏輯的課本說，「世界上所有的複雜邏輯運算，都可以用這三個基本邏輯運算模擬出來」。所以，我們來介紹一下，這「邏輯運算」是什麼：

OR運算
0 OR 0 = 0
0 OR 1 = 1
1 OR 0 = 1
1 OR 1 = 1

通常，運算式中，有所謂的「運算元（operand）」和「運算子/運算符（operator）」的專有名詞。

在「0 OR 1 = 1」這個算式中，等號前面的「0 OR 1」中的0和1是「運算元」，也有人稱之為「輸入（input）」，中間的OR是「運算子」，就是定義這個運算的主角了，等號後面的1則稱為「結果（result）」或是「輸出（output）」。

「OR」運算就是：只要兩個輸入中其中一個有1，輸出就會有1。

AND運算
0 AND 0 = 0
0 AND 1 = 0
1 AND 0 = 0
1 AND 1 = 1

「AND」運算就是：只有兩個輸入都是1的時候，輸出才會是1。

NOT運算
NOT 0 = 1
NOT 1 = 0

「NOT」運算是個「單運算元」的運算子，也稱為「反相運算子」，0被反相就變成1，1被反相就變成0。

一般在數位邏輯課本中，會用三種圖樣來表示這三種邏輯閘，並加註所謂的「真值表」：







假設我們能製造出這三個基本邏輯閘，就可以用他們模擬出所有可能的邏輯運算。然後，用邏輯運算，又可以模擬出人類定義的數學運算。所以，下期就可以用這期學到邏輯閘概念來模擬做出加法器了。