從貝茲曲線到曲面

如果曾經試著使用電腦進行繪圖，應該對貝茲曲線（Bézier curves）不陌生，它是以法國工程師Pierre Bézier來命名，結合程式設計，只要幾個控制點，就能夠建立圓滑曲線。

貝茲曲線既是數學也是程式，試著自行實作並進一步擴展到貝茲曲面，對於數學或者是程式面來說，都是很棒的探索過程。

貝茲曲線的數學

想要在電腦上進行曲線繪製，方法之一是構造數學函數，運用電腦算出每個點的位置，然後畫出曲線。但是，有時候因為數學不夠好，或者是難以找出數學公式來表現出想要曲線，怎麼辦呢？貝茲曲線本質上也是一種函數，只是形式固定，卻可以用來近似出各種曲線，近似的原理簡單來說，仍是使用直線。

用直線來近似曲線？感覺不可思議？想想看，給你兩個點，可以畫出一條直線，若在這兩點中間再取一個點並移動，就可以畫出折線，在兩點之間取得點越多，並適當地將這些點移至想要的曲線之路徑上，畫出來的折線就會像是個曲線了，兩點之間被取得的點稱之為節點（Knot）。

當然，若要自行移動兩點之間的每個節點，是一件很費力的事，最好是有個函數，給定兩個或者多個控制點（Control point），就能自動計算出中間必要的節點，這樣的函數稱為樣條函數（Spline function），而貝茲曲線是大多數人最為熟知的一種樣條函數。

最簡單的樣條函數是使用兩個控制點，在這兩點中間取許多節點，然後連接起來，當然結果還是直線，只不過是由數條直線組成罷了。如果有三個控制點P0、P1、P2，在P0與P1間直線的四分之一處，找個點Q0，在P1與P2間直線的四分之一處，找個點Q1，這時，Q0與Q1會構成一條直線，在此同時，我們也在Q0與Q1之間直線的四分之一處找個點K0，這就找到了一個節點，當切分點改為四分之二、四分之三就又可以找到K1、K2兩個節點，將P0、K0、K1、K2、P2連起來，就會像是個曲線。

因此，若切分時是1/n，像是1/10甚至是1/100，就人類肉眼看來就會是圓滑的曲線了，這方式就是二次（Quadratic）貝茲曲線。如果有四個控制點P0、P1、P2、P3，那麼由P0、P1、P2可以得到Kn個點，P1、P2、P3可以得到Ln個點，將Kn與Ln的點兩兩對應、畫出直線，就可以在這些直線上取得n-2個節點，P0與n-2個節點及P3，就可以畫出三次（Cubic）貝茲曲線，三次貝茲曲線是最常用的曲線，然而，依上方式繼續擴展，也可以求得四次、五次或更高階的貝茲曲線。

貝茲曲線的程式

若有0到n-1個控制點Pi，線性、二次、三次貝茲曲線的公式分別會是：

線性：P0 + (P1-P2) * t
一次：P0 * (1-t)^2 + 2 * P1 * t(1-t) + P2 * t^2
三次：P0 * (1-t)^3 + 3 * P1 * t(1-t)^2 + 3 * P2 * t^2(1-t) + P3 * t^3

很顯然地，這是一個二項式展開，而係數方面為[1, 1]、[1, 2, 1]、[1, 3, 3, 1]，也就是C(n, k)，可以用巴斯卡三角形來記憶。

巴斯卡三角形對程式人來說，是個常見的程式演算，寫來不難，由於很少會使用四次或以上的貝茲曲線，因此，就求係數來說，可以使用以下的程式碼，只有在大於3時，才會遞迴求解：

def combi(n, k):
p = ;
if n < 4:
return p[n][k];
return 1 if k == 0 else combi(n, k - 1) * (n - k + 1) // k

雖然三次貝茲曲線是最常用的，然而，想要實作出可應付n次的貝茲曲線，由於公式單純只是二項式展開，也只要遞迴就可以了。在三維空間中，若使用直角座標，那麼，點會有x、y、z三個值，只要分別針對這三個值來運算，就可以求得節點座標，而這種演算方式還有個很酷的名字，稱為de Casteljau's演算。

雖然貝茲曲線是以Pierre Bézier之名來命名，然而，他並不是首位發明者，最初由Paul de Casteljau於1959年運用de Casteljau演算法開發；另一個有趣的事實，對前端來說也許不陌生，CSS中有個cubic-bezier()函式，可以用來建立動畫之類的過渡效果。

從曲線到曲面

之所以會想要探討貝茲曲線，一開始是想要能在OpenSCAD中，描述一些有著複雜曲線的模型。OpenSCAD基本上是個簡易的語言，連內建的模組與函式都非常少，像貝茲曲線這種東西，自然必須要想辦法自行實作出來。

不過，就算描述出貝茲曲線了，還是有個難處，必須要能在三維空間中畫線，但OpenSCAD沒有內建這個模組，這是因為在幾何上，線是沒有粗細的，然而，在3D列印上，沒有粗細的線，也就無法列印而沒有意義。

當線有了粗細時，就算只是實作兩點間的直線，也有著許多考量，簡單來說，程式碼實作比較複雜，最好是隱藏起來成為一個模組，然後，基於兩點之間的直線模組，再實現出可連接多個點的折線模組。

在能夠繪製出貝茲曲線之後，自然會想要挑戰貝茲曲面，不過，在這之前先想到的是，要怎麼畫得出曲面？類似於曲線可由許多小直線來構成，曲面其實也可以由許多小平面來構成，只是這些小平面是什麼形狀呢？三角形！因為三點一定共面，這也就是為什麼在崎嶇不平的地面上，三腳椅會很好用的原因，如果想要描述的面不是三角形，就想要辦法將這些面分解為許多的小三角形。

一旦有了相關的函式與模組之後，以它們為基礎，才能將焦點集中在描述曲茲曲面上。令人意外地，相對於程式實作上的繁複，曲茲曲面在數學上的概念上簡單多了。

如果有16個控制點，每四個點用來畫一條三次貝茲曲線，這樣就有了四條貝茲曲線，現在於這四條曲線各取一個節點，用這四個節點就可以構成另一方向的貝茲曲線。一開始的四條貝茲曲線上，各有n個節點的話，就可以構成n條不同方向的貝茲曲線；若n夠大，這n條橫向的貝茲曲線看來就像是曲面。

當然，實際上要的是曲面而不是多條曲線，因此，這n條貝茲曲線上計算出來的各個點，再用來切割出許多的三角面，拼起來後就是貝茲曲面了，若對程式實作上的許多細節有興趣的話，可以看看〈貝茲曲面〉（https://goo.gl/6ZT8yC）的介紹。

數學與程式彼此驗證

從我首次實作出貝茲曲線開始，到實作出貝茲曲面又過了快半年，這中間其實還試過許多不同的方式，不過都失敗了，一方面也是因為我看不太懂貝茲曲面的數學描述，對定義根本不清，題目當然就做不出來，只好將這題目丟到腦袋的背景執行緒中，等待哪天又靈光一現。

不過，等待也不光只是等待。在這中間我做的事情，就是像方才所談到的，試著將目前已實現的成果重構、反覆思考，以抽取出基礎的部份，慢慢地，少了那些實作細節的紛擾，看著後續嘗試的程式碼，通往靈感的路線就逐漸看得清晰了，也終於能夠理解貝茲曲面的數學描述是怎麼一回事。

這就是為什麼我會持續創作一些作品，記錄想法，並且試著做出dotSCAD程式庫（https://goo.gl/Yb2IOR）的原因了。

如果有興趣，可以看看我的程式庫原始碼，以及提交歷史，其中，就有著許多我的作品與文件中想法的影子，以及我所體驗過的，這數學與程式彼此驗證的有趣過程。