傅立葉轉換與影像處理（上）

關於傅立葉轉換，與影像的頻率處理息息相關，然而，數學公式往往令多數人難以理解，這時候，不妨從程式實作弦波疊加開始著手，進一步認識訊號在時域與頻域中各自要表達的意義。

從程式碼畫弦波開始

若是聲音之類的訊號，對許多人來說，應該很容易理解頻率的意義。

因為這類訊號是一種時間與振幅（例如音量大小）的關係，就人的耳朵來說，低頻聲音聽來沉悶，高頻聲音聽來刺耳，許多人都聽過行駛中車輛按著喇叭，由遠至近、又由近至遠的頻率變化（都普勒效應），構成的聽覺差異。

然而，我在先前專欄〈淺談圖片雜訊處理〉談過，對圖像而言，雜訊會有高頻與低頻之別，不過，初接觸影像處理的人往往難以意會上述的區分，因為他們可能覺得：單一圖像明明是靜止的，怎麼會有頻率的概念？

就灰階圖像而言，灰階值就好比訊號的振幅值，像素彼此之間的距離，就好比時間的間距，在不深入細究細節的情況下，大致上，我們可以認為，若鄰近像素間的灰階度變化小，就像是短時間內振幅變化週期長的低頻訊號，若鄰近像素之間的灰階度變化大，就像是短時間內振幅的變化週期短的高頻訊號。

然而，如果我們想進一步對圖像進行「濾波」處理，像是尋找圖像邊緣，就必須進一步認識傅立葉轉換（Fourier transform），以清楚認識圖像頻率的意義，而要認識傅立葉轉換，必須先認識博立葉級數（Fourier series）……呃！又要看複雜的數學公式了嗎？

這喚起了我求學時代工程數學、信號處理的惡夢，當然，有能力看懂公式意義甚至推導公式的話，必然對傅立葉轉換能有更深的認識，然而，就圖像處理而言，還有個更重要的任務，就是理解公式實際上對應於圖像的意義與應用。

而理解意義的第一步，就是請你先畫出一條正弦波，在〈NumPy與Matplotlib畫正弦波〉這個gist，提供簡單的程式實作可以參考。

弦波疊加與傅立葉級數

畫正弦波沒什麼困難，只不過我們要記得，sin(x)函式是個連續函式，而電腦的世界是離散的，實際上，只能每隔一段x來取樣；目前若在畫出來的正弦波上，疊加一個頻率稍高、振幅稍低的正弦波，會如何呢？

你會發現：畫出來的波變得複雜一些，然而，大致上，還是維持著正弦波的樣子，如果持續地疊加頻率更高、振幅更低，波的形狀就會持續變得複雜，變得更像是某種神祕的訊號。

其實，我們也可以隨意地疊加各種頻率、各種振幅的弦波，只不過生成的訊號較難看出有正弦波的規律，只會像雜訊。

既然我們要特意疊加頻率更高、振幅更低的弦波，就來疊加出一個更有趣的弦波訊號吧！試著執行〈弦波疊加〉這個gist看看吧！

執行結果可能會令你困惑，明明看來是個方波啊！哪來的弦波？

那是因為，我疊加了一千個特意安排的弦波，雖然看來像是方波，然而，若將圖形的顯示級數放大，還是可以看到波形起伏，只是起伏很微小，小到原尺寸下肉眼幾乎看出。

透過一大堆正弦波的疊加，竟然可以近似到方波，雖然方波是個極端的例子，只不過方波都能近似出來了，其他的週期波，是不是也有可能透過正弦波的疊加來構成？

事實上，傅立葉（Joseph Fourier）告訴我們，這種做法是可行的，在數學上，將這類函數，以簡單正弦波來表示的形式，稱為傅立葉級數（Fourier series）。

聲波之類的訊號就是類似的道理，如果你試著使用錄音程式錄下你說話的聲音，有些錄音程式會顯示你的聲音波形，基本上，這其實是代表著隨著時間記錄的音量，而這個波形可以分解為許多弦波的組合。

這代表著，我們可以將不同頻率的訊號混合在一起，而且，不同的頻率代表想要傳遞不同的意義，將這個波傳送出去後，接收端若能將之轉換為傅立葉級數，此時，就可以取得特定頻率，解讀其中的資訊。

從時域到頻域

若sin(x)中，x代表著時間t，一段時間內的sin(t)值，會不斷隨著時間而變化，sin(t)描述的是訊號隨著時間變化的關係，這關係稱為時域（Time domain），將時間t為橫軸，sin(t)為縱軸，畫出來的正弦波是時域的圖形化表示。

方才〈弦波疊加〉的繪圖結果，是一千個弦波疊加而成，如果現在不是將弦波疊加，而是在立體的笛卡兒座標系，將x軸作為時間值，y軸是每個弦波的頻率值，z軸作為振幅，將這些弦波個別畫出來，會是什麼圖案呢？

將一千個弦波畫出來，會過於混亂，〈時域與頻域〉是只畫出其中四個弦波的結果，可以使用滑鼠轉動繪出來的立體座標系，如果你轉動至只能看到xz平面，此時，就會發現像是由四根莖組成的莖葉圖（Stem plot），也就是說，這種做法給了我們從頻率的觀點來分析訊號的機會。

如果有個函式F(w)，w為頻率，可以用來描述、繪製莖葉圖，這函式描述的是訊號與頻率的關係，這關係就稱為頻域（Frequency domain）。

綜合以上的描述方式，你將可以發現下面的狀況：從時域的觀點來看，f(t)代表某個訊號不斷地在變化，然而，從頻域F(w)的觀點來看，訊號的頻率始終不變。

我們可以想像：在風琴按下四個鍵，發出的聲音在波形上是四個頻率的波疊加而成，雖然隨著時間過去，波形會有變化，然而，我們聽到的，始終是四個鍵的音組而成，也就是始終是四個頻率的聲波組合而成。

傅立葉轉換針對的是函式

現在問題來了！方才是透過寫程式的方式，來進行弦波的疊加，或者是弦波的個別繪製，能繪製出莖葉圖，是因為事先知道弦波會有哪些頻率，那麼，如果現在是對真實的訊號取樣，在事先不知道頻率組成的情況下，我們還能畫出頻率組成的莖葉圖嗎？

而這就是傅立葉轉換存在的目的了，如果取樣的訊號可以用f(t)描述，套用至傅立葉轉換，就可以得到F(w)描述，所以，傅立葉轉換就是f(t)->F(w)，不過，在電腦中是離散的，因此，實際上會用到的是離散傅立葉轉換，然而，基本上仍是個從時域至頻域的轉換。

如果你曾經對傅立葉轉換，所謂時域到頻域的意義並不夠清楚，此時，可以試著透過以上實際的程式繪圖，以及疊加來理解，這麼一來，就能進一步知道：在圖像上，傅立葉轉換會是空間域（Spatial domain）到頻域的轉換；而關於上述部份，我們也可以用程式實作的角度來觀察，而這也會是下篇專欄要分享的內容。