傅立葉轉換與影像處理（中）

如果想要認識圖像頻率，我們可以從一維Perlin雜訊的傅立葉轉換來著手，將灰階度作為訊號值，而其頻率就是指灰階度變化的頻繁程度。

NumPy的傅立葉轉換

我在前一篇專欄文章〈傅立葉轉換與影像處理（一）〉的最後談到，傅立葉轉換是函式f(t)到函式F(w)的轉換，t是時間，w是頻率。

若要從程式撰寫方面來認識傅立葉轉換，NumPy提供了實作，不過，嚴格來說，是快速傅立葉變換，考慮了電腦運算本身的離散性（時域或頻域並非無限，而且只能離散地取樣），並改進了計算複雜度。

NumPy的傅立葉轉換相關實作，是由numpy.fft模組提供。對於一維的訊號，我們可以使用模組中的fft函式。

例如，若有個signal(t,sample_rate)可以指定時間t內，以取樣率（每秒取幾個樣本值）sample_rate對某訊號進行取樣，signal函式以陣列傳回取樣結果（振幅值的清單）samples，那麼，np.fft.fft(samples)就是傅立葉轉換的結果。

雖然在程式實作面上，重視的是傅立葉轉換的應用，不過，我們仍要知道：傅立葉轉換後的函式，頻率w對應的值是複數，因此，fft函式運算結果會是一組複數，每個複數代表著某頻率下弦波的相位與振幅。

對於一個複數，若畫在複數平面時，複數的實部與虛部可構成一個向量，旋轉該向量，旋轉期間得到的垂直分量為y（也就是虛數部份），每次取樣的時間為x，所畫出來的就會是弦波，以旋轉期間得到的水平分量為y（也就是實數部份），畫出來的也會是弦波。簡單來說，傅立葉轉換後的複數，包含了弦波資訊。

傅立葉轉換後，我們試著以莖葉圖繪製頻域時，通常只在意有哪些頻率（圖中突出的莖葉），振幅部份基本上可取絕對值做標準化後的結果，作為莖葉圖的縱軸數值。

至於莖葉圖需要的橫軸，也就是頻率的部份，numpy.fft模組提供了fftfreq函式，我們可以指定取樣資料的尺寸與取樣率的倒數，計算出對應於頻率的陣列。

對此，在〈NumPy一維傅立葉轉換〉這個gist中，有傅立葉轉換後畫出莖葉圖的實作，可以參考。

傅立葉逆轉換與濾波

〈NumPy一維傅立葉轉換〉執行的繪圖結果中，會包含負頻率，然而，頻率怎麼會是負的？

想想看，如果我們要畫出sin(f*2π*t)的正弦波有另一種方式，使用一個圓，半徑為1，一開始有個點(1,0)在圓上，若f為正，點是以逆時針以角頻率轉動f*2π，這時記錄y分量可以畫出弦波；若f為負，就表示以順時針轉動而畫出來的弦波。

方才談到，傅立葉轉換後的複數，包含了弦波的資訊，如果我們將正頻率與負頻率相對應的複數，畫在複數平面上各自旋轉，虛數分量相加會為0，畫出來就是條水平線，而實數合成的部份，畫出來會是條弦波，關於這部分內容，可參考〈如何正確理解信號處理中的負頻率〉的動畫。

也就是得到的訊號會是由實數分量組成，而在時域對訊號取樣時，就是以實數來記錄，只不過在傅立葉轉換後的複數中，虛數確實也有其意義，若我們真的只想知道訊號是由哪些頻率組成，只要看正頻率的部份就可以了。

傅立葉存在逆轉換，也就是可以將F(w)轉換為f(t)，將頻域資料轉換為時域資料，這可以得到相同的訊號。

若對傅立葉轉換後的頻域資料動些手腳，再逆轉換回時域，例如，若將頻率10與-10以外的部份設為0，就表示這些頻率的訊號振幅都是0了，也就是消去了訊號，從頻域轉回時域時，畫出的訊號就不會有頻率10，藉此就得到了濾波的功能。

在〈簡單的濾波〉這個gist，是個簡單的濾波實作，執行後畫出來的圖案中，藍色是原訊號，橘色是濾波後的訊號，也就是將頻率10之外的訊號消除之後的訊號，我們可看出這是個單純的弦波。

Perlin雜訊與圖像頻率

而在傅立葉轉換，以及圖像的頻率之間，又有何關係？

在過去的專欄中，我曾經談過Perlin雜訊。就一維的Perlin雜訊來說，畫出來就像某種訊號，在〈NumPy與Perlin雜訊〉也談到了，如何以NumPy及Matplotlib來繪製一維Perlin雜訊。

既然如此，如果我們針對一維Perlin雜訊取樣，透過傅立葉轉換就可以分析，了解雜訊是由哪些頻率組成，在〈Perlin雜訊與傅立葉轉換〉這個gist，就繪製了雜訊在頻域的莖葉圖。

對於二維的Perlin雜訊，通常會將雜訊值作為灰階值，如果我們基於各座標像素點以灰階值來進行繪圖，看來會像是起伏的地形，或者像是海浪。

如果我們在圖上與x軸平行切出一條線，而線所通過的像素灰階值之變化，其實，就相當於一維Perlin雜訊。

而這個一維Perlin雜訊變化，如方才所述，又可以看成是數個頻率弦波疊加後的結果。

也就是說，就圖像來說，灰階度可以看成訊號值，取樣範圍內的灰階度變化，可以看成是數個週期性的灰階度變化組成，與這些週期相對的就是頻率，這時圖像的頻率，指的就是這些灰階度變化的頻繁程度。

先前專欄〈淺談圖片雜訊處理〉談過低頻、高頻雜訊是類似的道理，若鄰近像素間的灰階度變化小，就像是短時間內振幅變化週期長的低頻訊號；若鄰近像素間的灰階度變化大，就像是短時間內振幅的變化週期短的高頻訊號。

實際的圖像是二維的，不過，可以從產生x方向有灰階度變化，而y方向沒有灰階度變化的圖案，先觀察一下。例如〈Sin灰階變化〉這個gist，是用正弦波畫出來的圖像，其中的freq參數可指定頻率。

當freq的值小時，我們會看到和緩的灰階變化圖像；當freq大時，灰階度變化會很劇烈。也就是說，和緩的灰階變化，是由相對而言低頻的訊號所組成；劇烈的灰階變化，是由相對而言高頻的訊號所組成。

高頻訊號的圖像界線

在高頻的時候，其實，我們還可以觀察到，就肉眼而言，會覺得黑與白的界線較為明確。

只不過，圖像終究是二維的，然而，是否有二維的傅立葉轉換呢？確實是存在二維的傅立葉轉換與逆轉換！

而且，類似地，也可以針對轉換後的結果進行頻域上的處理，再進行二維的傅立葉逆轉換，而這就形成了圖像濾波的一種方式。若將低頻部份設為0，留下高頻部份，逆轉換後的圖像，就會留下視覺上界線分明的部份。

而這也是尋找圖像邊緣的方法之一，我將在下一篇專欄再來探討。