在具備一級函式的語言中常談到，函式就是值，或者一級函式代表著lambda表示式（或運算式），而lambda表示式的概念來自於lambda演算，是一種表示運算的方式，具有構造語言的能力。

那麼，到底什麼是lambda演算？

從ES6箭號函式開始

看到lambda演算這名詞別太驚恐！若開發者曾在具備一級函式特性的語言中，使用過匿名函式，那麼，就運用過lambda表示式，實現過某種程度的lambda演算了！

例如，ES6箭號函式x => x，相當於lambda表示式λx.x，也就是，一個對映到本身的（identity）函式，恭喜！此時，你已經成功使用x => x來表示一個「值」！別懷疑，不是常說一級函式就是值、一級公民嗎？

如果有個函式function addOne(x) { return x + 1; }，addOne(0)執行結果會是1，addOne也可以定義為let addOne = x => x + 1，因此，addOne(0)就是(x => x + 1)(0)，也就是說，可以使用(x => x + 1)(0)來表示1這個結果了，2的話就是(x => x + 1)(1)，也就是(x => x + 1)((x => x + 1)(0))。依此類推，就可以得到更多的數字了。

仔細想想，我們如果不展開addOne的話，1是addOne(0)，2是addOne((addOne)(0))，3就是addOne(addOne((addOne)(0)))，也就是說，數看看有幾個addOne，就是代表哪個數字。

如果不限於加法操作，而可以是某個f操作，並使用x變數來作為0的箭號函式表示，那麼，就可以使用箭號函式，來定義1為f => x => f(x)，2為f => x => f(f(x))，3為f => x => f(f(f(x)))，而如此持續下去，就可以定義出想要的正整數了。簡單來說，看到n個f，數字n就會得出，那麼，一個f都沒有的f => x => x就可以當成0了！

n(f)(x)表示f套用在x上n次，f(n(f)(x))表示f套用在x上n + 1次，因此，為了便於得到n的下個數，可以定義succ為n => f => x => f(n(f)(x))。如果定義$1為f => x => f(x)，那麼，addOne就可以定義為n => $1(succ)(n)，全部展開的話，就是n => (f => x => f(x))(n => f => x => f(n(f)(x)))(n)。

現在，已經能用箭號函式來表達addOne函式，以及正整數了，這就是lambda演算。每個值都可以用lambda表示式來代表，addOne($1)執行結果也是（可以試著自行展開它）。

也就是說，就算程式再複雜，最後，都可以化為lambda表示式，即便是true、false、if等也不例外，當這裡連if等都構造出來，就已經有了高階程式語言的感覺了。

Y Combinator

若開發者先前撰寫過匿名函式，多少就是在進行lambda演算，理由在於像x => x + 1這樣的函式，就是以匿名函式表示一個值，其中隱含地假設x會接受另一個匿名函式值，而+與1都各自有著已定義的匿名函式。

如果不滿足，想要嘗試更純綷的lambda演算，不用包山包海地定義出語言中全部元素的匿名函式表示，就像方才定義出addOne的過程就足夠了。若有其他的值，想用匿名函式表示，先寫下熟悉的語法，例如，x => x - 1，檢視其中尚未以匿名函式定義的值，例如方才的減號，然後想辦法使用匿名函式來表示它。

然而，可能馬上會有開發者發現到，表示遞迴函式時，會遇到困難。例如，階乘函式let fact = n => n < 2 ? 1 : n * fact(n - 1)，匿名的部份為n => n < 2 ? 1 : n * fact(n - 1)，若拿掉let fact =，那麼，fact就是個未定義的變數了，那就令fact為參數？也就是fact => n => n < 2 ? 1 : n * fact(n - 1)。

然而，問題在於，fact可以接受的函式，又是從何而來？

如果能定義出一個y函式，產生出fact可以接受的函式，那麼，y(fact => n => n < 2 ? 1 : n * fact(n - 1))就會階乘函式，想要知道這個y如何推導出來，可以參考〈Y Combinator〉（https://goo.gl/yXNViU），y當然必須能用匿名函式表示，而結果就是f => (x => f(n => x(x)(n)))(x => f(n => x(x)(n)))。

搞Y Combinator做什麼？就現代程式語言來說，搞Y Combinator不太能有實際的作用，然而，如果想用箭號函式來表達程式意圖，在遇上遞迴函式時，Y Combinator會是必要的元素之一！

let語法糖

為了可讀性，在實現lambda演算的過程中，我們此時可以放寬限制，使用let來代表每個匿名函式，例如：

let $0 = f => x => x;

let succ = n => f => x => f(n(f)(x));

let add = m => n => n(succ)(m);

console.log(add($0)(succ($1)));

雖然最後可以將add($0)(succ($1))全部展開為匿名函式，藉此驗證lambda演算是否正確，然而展開後的結果，完全就像是加密文字一樣；就沒有更好的方式，可以符合lambda演算，又稍微兼顧點可讀性嗎？

來看看let f = x => x + 1; f(1);好了，其實也可以表示為(f => f(1))(x => x + 1)，從這個角度來看，在實現lambda演算的過程中使用的let，就像是個語法糖了，因此，上面的程式碼，實際可以表示為：

console.log(($0 =>

(succ =>

(add =>

add($0)(succ($1))

)(m => n => n(succ)(m))

)(n => f => x => f(n(f)(x)))

)(f => x => x));

這裡所採用的格式縮排與換行並非必要，只是為了方便閱讀，每個參數的實際定義，就是同一層括號中的匿名函式，如果去掉全部的縮排與換行，還是個lambda表示式。

與數學運算正面交峰

匿名函式是一種lambda表示式，而一個lambda表示式，相當於一個數學函數匿名表示。例如，x => x + 1，相當於f(x) = x + 1的匿名表示，也就是說，既然程式碼可以全部轉換為匿名函式，就表示程式碼可以全部轉換為數學函數，而程式碼執行結果，就是數學函數運算後的結果，因此，使用ES6箭號函式來表示全部的程式碼時，JavaScript執行環境只是個正好能識別它，接著按照匿名函式定義進行計算的機器而已。

將lambda表示式寫在一個字條上，方才程式中的console.log()看成是機器接受字條輸入的入口，不正是這種隱喻嗎？數學式就是程式碼，程式碼就是數學式。

如果願意，我們可以設計其他機器來讀取同樣的字條，運算其中的數學式（在沒有電腦的年代，執行此任務的就是人了）。

既然數學式就是程式碼，那麼，構成數學式規則的lambda演算，就是程式語言了。

它就只有變數、函式定義與呼叫這三條語法規則，使用lamdbda演算撰寫程式，就必須直接與數學運算正面交峰。

也許這麼做，接下來，就不會有「什麼是運算思維？」這樣的問題產生，更不會有那些虛無縹緲的答案了！