隨機過程與迷宮

談到隨機，多數開發者應該會想到random之類的函式，先前我在專欄文章〈你的程式夠「亂」嗎？〉談過，程式庫提供的隨機亂數是假的，都是偽隨機，是基於確定性的演算，只能用於隨機性要求沒那麼高的場合，對於安全之類需求就不適用，必須追尋真正的隨機事件，像是硬碟等真實裝置的雜訊，或者密碼學安全偽隨機數。

random？stochastic！

就我個人的想法而言，萬物皆有規律，只不過在人類發掘出規律之前，對於無法理解的現象稱為隨機罷了；近來有個CVE-2022-38392安全漏洞就蠻有趣的，誰能想像到〈播放Janet Jackson音樂影片造成數款老舊筆電掛點〉，除此之外，利用硬碟聲音與廢熱來推測並傳送資料的傳說，也時有所聞！

相對於追求真正的隨機事件，另一個方向是令接下來的事件不具確定性、卻也沒有完全的自由度，例如高斯雜訊（Gaussian noise），雖然雜訊依舊是隨機的，沒辦法預測會生成什麼值，然而將雜訊加以統計，會呈現高斯分布，也就是常態分布。

在這邊我想探討的不是random，而是stochastic，兩者中文都翻為隨機，彼此卻有所不同。我是在試圖理解L-system時，首次接觸到stochastic這個形容詞，在先前〈碎形與L-system〉就談過Stochastic L-system，在維基百科〈L-system〉條目裡，也有〈Stochastic grammars〉的說明，這是指衍生規則的選擇會有不確定性，然而，不確定性會受到指定的機率影響。

方才提及了雜訊，可想而知的是，Perlin雜訊、Worley雜訊、藍雜訊等，也是隨機過程（stochastic process）的產物，至於隨機過程這個詞，基本上，也不是嚴謹定義的名詞，這邊採取的是《The Information: A History, a Theory, a Flood》裡第855頁的談到的：

neither deterministic (the next event can be calculated with certainty) nor random (the next event is totally free)

隨機過程的結合

方才談到，在人類發掘出規律之前，對於無法理解的現象，我們通常會將其稱為隨機；然而，隨機過程的下個事件，並沒有完全的自由度，若能掌握、善用其中非自由的部分，其實就能進行相對應現象之模擬，只是在不同領域當中，會有不同的應用。而我特別喜愛在圖像創作或3D建模時，運用隨機過程，讓程式所生成的作品各不相同，卻又擁有特定的風貌。

思考隨機過程裡非自由的部分該如何結合，則是另一種挑戰。我在先前〈自然噪聲與碎形〉談到的碎形布朗運動，是結合的方式之一，除了將Perlin雜訊不斷地疊加，我們也可以結合不同雜訊進行疊加，例如結合Worley雜訊，這就可以構成〈雜訊結合雜訊〉裡看到的漣漪效果。

思考隨機過程裡非自由的部分如何結合，有時會需要靈感及一些經驗，這也是我經常觀摩他人作品的原因，有時甚至是觀察自然現象。就像近來我發布的作品〈巨岩迷陣〉，靈感的來源就是看到世界自然遺產之一的巨人堤道（Giant's Causeway），如果你在網路上搜尋，就可以看到堤道的圖片。

當我第一眼看到巨人堤道，直覺想到這類似Voronoi圖，而這就是在運用經驗了，當然石柱高低各有高低起伏，我們可以透過Perlin雜訊模擬。就我而言，想模擬巨人堤道建立3D模型並不是難事，但我想讓圖樣更有趣一些，例如，讓那些柱狀節理（Columnar jointing）構成迷宮如何？

畫迷宮並不是難事，但迷宮必須能轉換為柱狀節理；不過，在轉換成柱狀節理之前，又必須將迷宮晶格化；若我們要將迷宮晶格化，就想到了先前〈淺談圖片取樣〉談過的，將取樣點作為Voronoi分割的依據。等等！這表示我必須將迷宮輸出為圖片，再做圖片取樣嗎？

其實，最終需要的是像素資訊，只要能將迷宮轉換為像素就可以了。先前我在〈趣拼王氏磚〉裡談過，迷宮裡的每個區塊可以對應至王氏磚，最後只要定義16個像素陣列，將迷宮轉為代表王氏磚的像素陣列，就能得到迷宮圖，後續也就能進行圖片取樣了。

迷宮偏差／熵值遮罩

〈巨岩迷陣〉靈感來自巨人堤道，經驗則來自過去對Voronoi等隨機過程的應用。完成繪製之後的滿足感，讓我思考著：迷宮還有沒有其他隨機過程的結合方式？

在運用一些關鍵字進行搜尋之後，我發現了Kevin Giovinazzo的〈Generating mazes from pictures, or "Masking Entropy"〉，在這之前，我從來沒想過可以這樣運用迷宮偏差（bias）。

我在先前〈迷宮產生演算法之美妙〉曾經談過二元樹演算，也談過只能往上、往右打通路徑的迷宮演算，其偏差顯而易見，因為不論你怎麼改變生成細胞的順序，最後所生成的迷宮，其根節點一定是在右上角。

為了令迷宮看起來更為混沌，通常是要避免偏差，此時如果我們採用〈遞迴回溯迷宮〉，就是上下左右四個鄰居的選取通常會透過random之類函式，不偏袒任何一個鄰居。

如果選擇鄰居時特意製造偏好呢？例如，一律先選同列鄰居？那麼，所產生的迷宮就會有完全的水平偏差，走道幾乎都是水平連通，就不像迷宮了，Kevin Giovinazzo的文件稱此時熵為零，而文件裡的熵並非精確定義，也不是夏農熵（Shannon entropy）之類的概念，只是代表混亂程度，為了能像個迷宮，讓同列鄰居的選擇機率高就可以了，那麼，多數的走道會是水平連通，能構成不同風格的迷宮。

在構造迷宮時，透過遮罩（Mask）來構造不同形狀的迷宮，是常見的方式；從另一角度來看，遮罩也算是給予迷宮偏差的一種方式，因為遮罩裡被標示無法行走的區塊，可視為被選擇為路徑的機會為零；如果套用了遮罩的迷宮，進一步將區塊對應至王氏磚，迷宮也就可以依趙16塊磚的不同而變化，像是〈Maze in 迷宮〉這個作品。

從這個角度來看，若遮罩裡被標示的區塊並非無法行走，而是偏好選擇同列鄰居，相對地，未被標示的區塊則是偏好選擇同行鄰居呢？水平與垂直通路會構成明顯的視覺差異，若標示區塊時，使用Perlin雜訊、Worley雜訊，或甚至是特定圖樣（例如文字），那麼，最後構成的迷宮，也會有明顯而相對應的圖樣。

因為是基於遮罩，只不過遮罩標示處有不同的選擇偏好，而非可通行或不可通行，Kevin Giovinazzo才會稱為熵值遮罩（Masking Entropy）吧！

混沌 vs. 規律

就可視化而言，透過迷宮展示隨機過程，雖然可以有驚人的視覺效果，但這並不表示，隨機過程只能應用在圖像或3D建模，在其他領域當中，如統計模型或物理模擬，隨機過程也是非常重要的運用。我在先前〈程式猴與基因演算法〉談過的基因演算法、適應度，就是混沌裡的規律，一旦找到了正確的方向，猴子打出《莎士比亞全集》就成為可能。

只不過思考隨機過程這類問題時，我往往會有個疑惑，或說是特別的感受：究竟我是在混沌中找出規律？還是在規律裡摻雜混沌？或者兩者都有呢？不斷地思考這交錯不明的關係，也正是探究隨機過程的樂趣所在吧！