海龜不懂數學

如果你首次接觸程式設計，或者想對程式設計經驗為零的人進行教學，多半會接觸或介紹海龜繪圖法。因為它不需要懂任何的程式設計知識，只要重複地對海龜發送前進、轉彎等指令，就可以在電腦上繪製出複雜而美麗的圖樣。

電腦繪圖實際上還需要數學，然而，海龜卻必須不懂數學，試著實作一隻小海龜的話，你就會明白這是怎麼一回事。

程式初學者的海龜繪圖

在人人學程式、從小學程式的風潮中，有著不少的程式入門管道，其中有些管道就看得到海龜繪圖，像是在一小時的程式設計（Hour of Code）中，為了吸引小朋友學程式而設計的〈Code with Anna and Elsa〉，就是海龜繪圖。

而這當中想要傳達的主要概念是，複雜往往來自簡單的規則，而觀察並尋找模式這種能力的培養，並不需要瞭解複雜的程式指令。

想要觀察並尋找模式，最具體的方式就是透過圖樣，海龜繪圖就是想像有一隻海龜在沙灘上爬行，爬過的路線會留下痕跡，因此只要命令海龜前進、轉彎就可以了，程式碼方面的細節必須被隱藏起來，不然就會嚇跑想跟Elsa玩的小孩。

實際上，海龜繪圖最初在1960年代時，就是為了讓一個像小海龜的機械裝置，可以在地板上前進、轉彎，而發展出來，然而，不是每個人都會有這隻機械海龜。

不過，後來個人電腦普及了，因此，這隻小海龜就從地板移民到電腦螢幕上了。談到海龜繪圖，就得談到第一個內置海龜繪圖實作，也是當初用來操作機械海龜的Logo程式語言了。

如果有一定程式設計經驗的，或許對這種教育用程式語言不感興趣，但為了讓你更集中注意力一些，這邊必須揭露一件事實，Logo的原型是來自於Lisp，繼承了list的概念，就像是沒有括號的Lisp（如果沒聽過Lisp，請參考我先前專欄〈可程式的程式語言〉）。

這隻小海龜可以這麼嗆辣而受歡迎，其實在於只要讓它專心地做些看似無腦的事，就可以畫出美麗的圖案，像是前進個10公分，隨意轉個136度之類的，重複個幾次，就會出現美麗的多角星。

你也可以只拿隻筆來當成海龜進行畫圖，只不過可能重複個幾次，就會感到厭煩了，而重複這種是電腦擅長的，我們可以學習程式設計，來讓電腦愉快地做這件事。

實作沙灘上的海龜

如果你用過任何程式語言內建的繪圖程式庫，會知道就算想要畫一條線，至少須懂得繪圖時的座標系統、基本的繪圖物件初始化作法，以及如何呼叫畫線函式等。

而使用海龜繪圖，可以讓程式初學者在不懂數學，連繪圖程式庫也不用瞭解的情況下，只要利用程式語言中基本的重複結構，就能得到立即的圖樣回饋。就這方面來說，海龜繪圖其實是封裝的絕佳範例，將一切隱藏在海龜體內。

如果想實作一隻在沙灘上移動的海龜，海龜體內須藏有目前位置的座標，以及目前相對於直角座標中某個軸的角度（通常是X軸），這樣才能知道海龜的頭朝向哪個方向。

而如果海龜轉彎了，那就是目前角度加上轉彎角度，以作為海龜轉彎後的新角度。

如果海龜移動L長度，新座標可以用基本的三角函式來計算，這並不難，X方向移動的長度，會是L乘上目前角度的餘弦值，Y方向移動長度，會是L乘上目前角度的正弦值，兩個值各與目前x、y座標值相加，就好了。

為了能在移動過的路徑上畫線，移動前，要記錄目前座標值，接著，取得移動後的座標值，然後，用這兩個座標值呼叫繪製直線的函式。

無論海龜要畫的圖案有多複雜，基本上，就是重複地運用以上的流程及數學運算了。

如果想要體驗一下，Python從2.5版之後就內建了turtle模組，想要畫個三角形的話，基本上只要使用以下的程式碼，完全不用理會座標，也不用親自進行三角函式運算，更沒有繪圖程式庫的初始化，這一切都被封裝起來：

from turtle import *
for _ in range(3):
forward(10)
left(120)

實作海洋中的海龜

Python的turtle模組中，forward的別名是fd，而left的別名是lt，實際上，模組中的部分，就是Logo程式語言中海龜繪圖的移植版本；同樣的三角形，在Logo中，可以用repeat 3[fd 10 rt 120]來繪製。

當然，Python中還實作了更多簡便的函式，想要瞭解海龜繪圖如何實作，turtle模組的原始碼是個不錯的參考，不過，若想要實作的是海洋中悠游的海龜呢？

海洋中悠游的海龜，就不再是在二維平面，而是在三維空間中移動了。

若瞭解2D的海龜繪圖，在實作3D海龜繪圖時，很容易產生一個簡單的構想，也就是除了左右轉動的角度之外，再多記錄一個海龜抬頭的角度（與XY平面的夾角），只不過若海龜想用這種方式，它必須懂點數學，這樣一來，在想要游個與海底夾30度的三角形平面時，才能算出自己在向前游一段長度後，接下來，必須轉125.264度，才能達成目標，但實際上，海龜不懂數學，因此它算不出這個角度。

此時，我們必須改用向量，來思考海龜繪圖的實作！如果海龜往前移動長度為1，X方向移動長度，就是1在X軸上的分量，而Y方向長度，是1在Y軸的分量。如果海龜移動長度為L，那麼X與Y方向上的分量，就是移動1後在X軸與Y軸的分量各乘上L；實際上，1在X軸與Y軸的分量值，就是海龜往前移動長度為1時的單位向量表示，而海龜轉向時，新的單位向量必須套用繞自身z軸轉動的公式來求得。

如果你稍微計算一下就會發現，其實，2D的海龜繪圖實作時所使用的公式，就只是向量觀念的簡化罷了。

類似地，如果想實作3D海龜繪圖，可以記錄海龜自身三個軸的單位向量表示，當海龜需要左右轉、上下抬頭或翻身時，就是分別在這三個軸的單位向量上，套用繞自身z軸、y軸與x軸的轉動公式，來求得新的單位向量，如果海龜向前移動長度為L，那麼X、Y、Z方向上的分量，就是海龜本身三個軸的單位向量各乘上L，接著分別與海龜目前的座標相加，就會是移動後的新座標了。

當一隻好用的海龜

站在不懂程式的海龜角度來看，要使用程式碼來實作單位向量、繞軸旋轉的座標計算，看來是有點複雜呢？

然而，每次海龜的某個動作，都會是某種重複的計算流程，只要將這些流程定義完成，再複雜的圖案，就可以重複地運用這些定義來構造。

進一步地，若站在3D海龜實作者的角度來看，在使用程式碼實作向量運算、繞軸轉動之類的數學公式，不也就是在重複地運用數學方面的模式嗎？

想想看，若想用數學公式一次地描述3D樹木曲線，會是多麼困難的一件事。因此，若將3D樹木曲線分解為前進、旋轉等動作，而這些動作又分解為向量、繞軸座標計算等計算，接下來就可以用簡單的規則來描述3D樹木曲線了。

2D海龜繪圖，對大多數程式人來說應該很簡單，試著實現看看3D海龜繪圖吧！（有興趣可以參考我的實作https://goo.gl/5djc6N）除了能在實作的過程中，認識與應用一些數學之外，更重要的是記得：使用程式庫的人其實就是海龜，而海龜不懂數學，這樣你寫出來的海龜，才會是一隻好用的海龜。