運算思維的慣性

身為一名程式人，心中隨時有許多待解的難題，有時解題的挑戰來自於語言或技術，有時來自於演算法、架構、管理等各個方面，現在許多應用更來自於數學相關領域。

你不得不承認，解題的樂趣就在於，挑戰經常以失敗做結，因而你得持續吸收新知、不斷練習，在偶然靈光一現時再度挑戰，直到想法被證明可行而解開問題的那一瞬間，接著再度迎接下一個挑戰。

初遇球極平面投影

在3D程式建模這領域中，我有許多待解的題目，有些題目來自於生活上各種物品的觀察，有時來自於3D社群網站上其他作品的啟發，更多是來自突然的異想天開。

我印象中最深的難題之一是〈挑戰OpenSCAD迷宮產生器〉，從那之後，我又接連挑戰了各種題目，像是用費式數列建立蓮花、嘗試三維的貝茲曲線、實作出三維樹木碎形等，在這個過程中發現，實現一個作品時的欣喜感，終究只是短暫，因為總在不久之後，我又飢餓般地尋覓下一個題目，再度進入自尋苦惱的日子。

談到我想面對的挑戰之一，是曾經在3D社群網站Thingiverse上見過Stereographic projection作品，那是一個鏤空的圓球器皿，如果拿個手機在球的正上方打燈，圓球器皿的影子會正確無誤地在桌面上，形成連續拼接的正方形，第一次看到這光與影構成的美麗畫面時，著實令人屏息，這無疑地是數學的藝術。

驚嘆之餘，帶來的就是好奇，這是如何辦到的？我搜尋了一下網路，在維基百科上〈Stereographic projection〉條目中談到，那是一種將球面映射到平面的投影法，若平面上置有一球，球面上有一A點，A點與球面正上方極點連成的直線，延伸至平面相交出來的點，就是球面A點在平面上的投影點。

一般而言，球面正上方的極點，中文稱為球極，因此，Stereographic projection中文翻譯為球極平面投影，簡單來說，這是一種以平面來看待球面的方法，某些行動相機App，也會運用此方式，以拍攝照片者為中心，製作出球面全景圖像，形成的圖像像是個小星球，而拍攝者位於星球的中心。

練習與思考的慣性

初遇球極平面投影作品的時候，我才進入3D程式建模不久，以當時之能力想解決這個題目，活像是唐吉軻德面對大風車一樣，當時身為唐吉軻德的我，根本看不出風車的樣貌，只能純粹幻想那是個巨人，別說用寫程式了，我連數學公式都還導不出來，維基百科雖然列出一些式子，當時的我根本就看不懂。

這題目就暫且擱著吧！後來的我，試著從一些小作品開始練習，每一次的練習就成為下個作品的養份，隨著作品的複雜度漸漸提高，透過基本圖案聯集、交集、減集等的方式，就不再能解決問題了，而且，不得不開始面對一些簡單的三角函式，或是幾何數學問題。

太久沒有接觸幾何計算，一開始多半是有點畏懼的，然而隨著解決的問題增加，信心就又多了那麼一些，緊接著又想進行下個作品來練習腦袋，漸漸地，腦海中經常會浮現，不知何時看過的那麼一句話「數學是一種思考的習慣」，漸漸也能夠體會到，自己每次面對的題目，不過是又一個引導出整個思考過程的起點。

既然如此，過程中解不出題目也沒什麼好怕的，那反而是個收獲，因為我會知道目前的思路不可行，下次嘗試不同的方式就是了。

這樣的想法，也回饋到我的程式設計思維之中，程式設計中存在著技術面、管理面等各式各樣的挑戰，我先前專欄〈程式設計的「設計」〉中談到「程式設計思維」時就提過，那是一種「設計思考過程」，而優秀程式設計師「可能終其一生，都在為了在程式中融入設計，而不斷地學習各種的設計思維」，當你開始有了練習與思考的慣性，面對問題就不會再有畏懼，而是會有種期待了。

挑戰與失敗的慣性

記得幾個月前，我重新看了一下球極平面投影的定義，數學公式有那麼點瞭解了，於是，我試著將公式使用程式實現，並運用當時已知的建模知識與經驗，做出了一個可將平面文字映射至球面的版本，這取得了階段性的進展。

當時的方式是以一個小方塊為單位，與平面上的文字取一個小交集，透過球極平面投影公式放到球面適當位置上，然而，球面上最後只是許多不連續的小方塊，這仍然不是我想要的，因為，不連續的小方塊是無法列印的。

事實就是如此，當你從待解問題集合中，重新拿出某個題目來挑戰時，沒有人能保證這次就能贏得挑戰，能取得階段性進展也不是常態，多半是以失敗收場，無論是何種結果，終究還是得將問題再度置回待解問題集合之中，等待下次的靈光一現，再度面對挑戰。

寫程式也是如此，特別是在面對不熟悉的技術或領域時。

像我最近為了深入瞭解Prolog，一如過去想認真瞭解某個語言時的作法，又開始用Prolog練習起〈常見程式演算〉中的題目，由於Prolog本身語法，以及邏輯式典範上的不熟悉，感覺每個題目都是舉步維艱，然而，挑戰與失敗已經是種慣性了，無論結果為何，持續地思考就是了。

此時，使用Prolog練習那些老掉牙的常見程式演算，給了我靈感，何不重新用OpenSCAD來挑戰迷宮呢？一年前的我花了近三天的時間，一年後的我會花多少時間呢？除了實作出來之外，這次何妨考慮一些效率、彈性與程式碼的可讀性呢？

幸運地，這次的挑戰是成功的，建模成功加上重構、排版程式並加上註解，大概三個多小時就完成了，當挑戰與失敗已成為一種慣性，這種成功的喜悅是進一步成長時很好的養份。

讓運算與思考成為習慣

既然有了重新實作的迷宮程式，上星期偶而地靈光一現，讓我又想從待解問題集當中，再度拿出球極平面投影來挑戰，來做個可以自動產生迷宮的球極平面投影如何？

不知為何，這次覺得一定能成功了，而當第一個版本實現時，心中頓時充滿了無限個爽字，然而，緊接著的又是下個想法的浮現，因此，從第一個版本之後，我又完成了數個版本，每個版本都改進了前一版本的問題，而每個版本又帶來一個新的想法與難題。

我到底完成了幾個版本呢？數不清了，應該是有十來個版本吧！我這輩子大概第一次這麼密集地不斷算數學，不斷導證新的公式，然後持續使用程式來實現。

其實，有的版本其實是以失敗做終的，頓時間我腦中出現了一個聲音：這些都是有關運算，而運算思維中真正要培養出的能力，不就是讓這種不斷重複練習、思考、挑戰與失敗的過程，成為習慣嗎？

現實的狀況是，我們會不斷地遇到各式各樣的難題，無論是程式設計上的，甚至是這些日子以來益發受到重視的相關數學應用，有些問題不會有模式、既有的程式碼可以參考，甚至現有的技術也可能不符合需求，有些挑戰也不會有現成的數學公式可以引用，你只能讓運算成為一種習慣，讓思考成為一種習慣，然後用這種習慣去面對問題，從而解決並發現新的挑戰。