程式人的數學書

姑且將寫程式要不要懂數學擺一邊，如果已經打定主意，想要成為一個懂程式、也能應用數學的程式人，該從哪邊下手呢？然而，數學有許多的面向，系統性地學習是必要的，從實務面著手也是可行的，當成閒瑕時的閱讀選擇也不錯，重要的是習慣將數學當成一個表達、思考的方向，就像是學習新語言那樣！

找本微積分的書來學吧！

其實，我們在成長的過程中都接觸過數學，只是有沒有學好的問題，學好其實不單只是在考試時能算出解答，還包括能否在生活上面對需求時，使用數學加以解決，就這點來說，許多人的數學應該都沒有學好，然後漸漸地，就忘了有些問題，是可以使用數學來思考、表達或解決，即便程式設計工作在其他領域的人看來，像是與數學有所關聯，很多情況下，程式人都沒有應用到數學。

也因此，許多人會覺得自己沒有數學方面的天分了，你說天分這東西是不是存在？任何領域確實都存在天分擁有者才能突破的屋頂，不過，大多數情況下，我們碰不到、也並不用去碰觸那個屋頂，只要夠用，將之當成是一個工具就可以了。而我們接觸數學，主要是習慣有這個思考方式，必要時拿來解決問題罷了，犯不著使用天分當作拒絕數學的藉口。

實際上，數學的基礎大多人都學過，需要的只是忘了過去的學習經驗，重新用另一個角度把那些基礎撿回來而已，在這個過程中，漫無目的地在網路上尋找，有點浪費時間，需要的其實是系統性地回顧，最好的方式找一本書好好地讀，從哪本書？雖然數學有許多面向，不過，這些的基礎，我想會是微積分。

正如維基百科上談到，微積分是「研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支」、「在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用」，別被嚇到了，其實不用成為微積分高手，而是要在數、函數、極限、連續、級數等的探討中，重新瞭解一個運算問題，是如何從簡單概念到複雜的思考過程，如果已經有點程式設計經驗的人，就會發現這個思考過程，跟程式設計確實是有很大的相似性。

當然，學習微積分本身還是會枯燥一些，這方面我有個建議，找那些補習班針對考試的微積分用書來看，因為有既定目的在，這些考試用書在理論與解題的偏重上會比較平衡，而且通常在解說表達上更容易理解，很諷刺地，學校應該是具備這類功能的地方，然而，補習班往往更擅長這件事，在我過去重拾微積分，甚至電子學等理論基礎的過程中，都是採取這樣的方式。

找一些要用數學解決的程式問題

不是每個領域的程式設計都會用到數學，這是個事實，如果平常工作的領域就是如此，想要在寫程式時，除了程式設計思維之外，還能夠訓練數學的思考方式，那麼，特意尋找要用數學解決的程式問題，就會是必要的方式。

如果要能系統地找出這類問題，方式之一，是從具有數學問題的演算法相關書籍中下手，像是《名題精選百則》就有〈數字問題〉，而《程式之美》中的〈數學之趣〉，也列舉了一些數學問題，這些甚至不需要實際寫程式就能解答，我們主要是能透過這些問題，提高思維能力；《改變世界的九大演算法》無疑也值得一讀，雖然歸類為科普叢書（意外地，中譯本被列在經營管理），裏頭沒有任何一行程式碼，卻能讓我們理解到數學家與資料科學家的重要性與成果。

相信不少程式人也察覺了，現在有些技術在使用前，必須具備有相關領域的數學基礎，沒有相關知識，在使用這些技術時會寸步難行，資料科學就是其中一例，幸而有些書設定的讀者，是只需要有基本的數學能力，然後採取一邊講解數學，一邊應用技術的方式進行，像是《Data Science from Scratch中文版｜用Python學資料科學》，如果不想漫無目的地學習數學，這類書籍會是個方向。

當然，我這一年多來的最愛，3D程式建模也是其中一個例子，可惜的是，OpenSCAD的使用者相對來說不多，許多使用者多半也只用來做些簡單的設計，然後再經由其他建模軟體匯入修改，而我多半是透過其他3D書籍來學習必要的幾何數學，像是《JAVA 2D/3D繪圖程式設計實例應用》，近來我讀了一本《3D Printed Science Projects》，其中討論了3D數學函式、光與波、植物（像是花瓣的繪製）等，並使用OpenSCAD實作，如果對3D程式建模以及相關數學有興趣，可以參考看看。

Good Math

那麼，到底有沒有一本書，是專為程式人寫的數學書呢？《Good Math》會是個不錯的選擇。作者本身是個電腦科學家與軟體工程師，從小因為爸爸的職業，一直都有機會接觸到數學，因而對數學非常熱愛，他後來在開設的Good Math, Bad Math（http://www.goodmath.org/blog/）部落格中，分享他對數學的知識與熱愛，累積了上千篇相關文章。

雖然作者在《Good Math》的序中談到，書中每個主題都是獨立的，因而不用逐章閱讀，不過，我建議第一章、第二章還是可以看一下，其中討論到數字、什麼是自然數，然後從自然數延伸出整數的思考過程，值得好好玩味。因為，這就像建構軟體一樣，從最基本的元素開始，然後逐漸增加元件的過程。

如果開始覺得有些枯燥了，想看些與程式設計比較相關的東西，建議可以直接跳到第六部分〈Mechanical Math〉。一開始，你就會看到有限狀態機（Finite State Machine）的介紹，然後慢慢地理解到，Regular expression程式庫的實作，其實就是將Regular expression轉為有限狀態機。

接著下一章，會從圖靈機（Turing Machine）認識計算（computation）的本質，裡面提到，圖靈機是有限狀態機的延伸，並不是一個真實的機器，而是一個數學模型。書中，除了讓你瞭解特定目的圖靈機如何構造之外，還會知道有通用圖靈機（universal Turing machine），它可以接受其他圖靈機的描述（也就是現在所謂的程式了），從而模仿它的功能，如此一來，就可以為通用圖靈機編寫程式，以執行任何的運算。

這讓我回憶起過去曾經唸過的計算理論，不過，《Good Math》以更淺顯而直接的方式來進行表達。後續，作者還談到了圖靈完備（Turing complete）、λ演算等內容。如果對邏輯推演有興趣，也可以回頭看看第四部分的〈Logic〉，體會一下使用Prolog寫程式，會是什麼樣的方式。

讀一讀科普數學書

在日常的工作之外，還得花時間專心研讀數學相關的東西，其實也是滿累人的。數學有不同的面向，而其實現在有許多的數學科普書，也會從不同的角度來介紹數學，讓大家覺得數學很有趣，甚至也有不少是以漫畫的形式來表現，我有時也會看看這類的書籍，像是《世界第一簡單微積分》、《3小時讀通幾何》之類的，從輕鬆的角度來慢慢培養，其實也是個不錯的選擇。

從實用的角度來看，無論是哪種方式，時不時地接觸點數學，慢慢就會發現，數學其實有點像是程式語言，只不過，數學家是用數學符號來表達，而程式人是用程式語言來表達，而想要熟悉一門語言，就是經常地去接觸它，數學也不例外，當漸漸習慣數學的思考方式之後，在遇到問題時，除了程式語言之外，也會自然開始思考，這個問題是否有辦法使用數學來表達。

如果你願意，直接將數學看成是一門程式語言，也是很有趣，追求自我成長的程式人，每隔一段時間就會學習一門新語言，以獲得新的思考方式或啟發，那麼找個機會，就把數學當成是你的下一門語言吧！