座標轉換與程式設計

接觸3D程式設計，難免要認識各種座標系統，並在各個系統之間進行轉換，直接使用程式碼實現公式是個方法，然而3D的世界中經常運用矩陣運算，因此，認識齊次座標也是必備的，因為，這不單只是數學，與程式碼本身的效率也有很大的關係！

這是左手還是右手？

在3D世界中，最常運用的是直角座標，然而卻有多種不同的表示方式，也就是X、Y、Z軸正方向會有各自不同的表示，軟體或程式庫可能採用不同系統，這是種困擾，然而木已成舟，開發者只能在運用程式庫之前，先分辨它們到底採用哪個系統，粗略來說，直角座標系統可以分為兩種：左手座標（Left-hand Coordinate）、右手座標（Right-hand Coordinate）。

對於前者，把左手拿出來，姆指指向若符合X軸正方向，食指符合Y軸正方向，而掌心往上符合Z正方向的話，那麼該系統是採用左手座標，例如，WebGL裁剪空間（Clip Space）就是左手座標系統；對於後者，就是把右手拿出來，姆指與食指對應X、Y軸後，看看掌心往上是不是符合Z軸正方向，如果是的話，就是採用右手座標，例如glMatrix、Three.js就屬於這類右手座標系統。

如果你一開始設計3D物件時，是採用左手座標，然而接下來想要套用glMatrix呢？表面上看來，右手座標似乎只是將Z軸正方向反過來，對glMatrix是如此，然而對其他程式庫或軟體就不一定了。

例如，OpenSCAD、Blender是右手座標，然而，它的X、Y是代表2D平面，Z代表高度，也就是說，同為右手座標系統，還是要注意一下三個軸各自的意義為何；至於3D雕塑軟體的部份，似乎偏好左手座標，例如：Sculptris、SculptGL，不過，它們的z軸正方向是朝上，而不是像WebGL裁剪空間的z軸代表深度。

左手座標或右手座標的差別，會影響到座標轉換時導證出來的公式結果，如果試圖結合兩種不同系統的程式庫，就必須自行實作轉換，不然繪製出來就會是錯誤的畫面。

例如，一個右手系統的(x,y,z)要換成左手系統的話，並不是只有(x,y,-z)一種轉換方式，(−x,y,z)、(x,−y,z)、(−x,−y,z)、(−x,y,−z)、(x,−y,−z)，也都是轉換為左手座標的可能方式。

這是哪個空間？

剛開始接觸WebGL時，至少會接觸兩個空間：裁剪空間與螢幕空間（Screen Space）。對WebGL來說，螢幕指的就是Canvas，基本上，若頂點正確出現在裁剪空間中，WebGL會自動處理螢幕空間的繪製，不過，如果要處理像滑鼠點選的問題時，就必須處理繪圖座標至裁剪空間的轉換問題。

要繪製的幾何物件是由一組頂點定義，雖然裁剪空間是左手座標，然而這組頂點可以基於左手或右手座標定義，也就是說頂點定義在一個獨立的物件空間（Object space），或說是局部空間（Local Space），這個空間有個獨立原點，頂點都是相對於該原點而定義。

接著，我們會縮放、轉動、移動這些幾何物件，實際上這些轉換動作，是將這些物件中的頂點，轉換至世界空間（World Space）。也就是開發者建構的3D世界，在世界空間中可能有許多物件，然而可能只想繪製出某範圍內的物件，這就像是有個相機，世界很大，然而，只有相機內看到的範圍才會被繪製出來，這個範圍稱為觀察空間（View Space）。

開發者可能會用左、右、上、下，以及近面、遠面邊界，來定義觀察空間，而觀察空間會透過一些計算，對應至裁剪空間，這個過程稱為投影，常見的作法有正交投影或透視透影──正交投影不會創造出遠近感，然而，透視透影會因為視體（Viewing frustum）的視場角度（fov）等參數不同，呈現出不同的遠近感。

簡單來說，從物件空間、世界空間、觀察空間一直到裁剪空間等，必須經過多個空間轉換，才能順利地繪製出想要的3D物件，這些轉換，說穿了，就是一連串的線性轉換數學公式，然而，透過矩陣運算的話會更好，因為這會牽涉到程式運算時的效率問題。

這是點還是向量？

若要透過矩陣運算來執行空間轉換，此時，就不得不接觸齊次座標（Homogeneous coordinate）。多半的說詞是，齊次座標在進行仿射轉換（Affine Transformation）時很方便，像是混合縮放、轉動、移動等操作的轉換時計算方便，不過，實際上，齊次座標還可以用來區別點與向量的差別。

若單純只使用直角座標，(a, b, c)會是代表什麼呢？一個點？一個向量？誰知道！

使用齊次座標的話，(a, b, c, 1)表示這是個點，而(a, b, c, 0)表示是個向量。至於為什麼會這麼定義，事實上，這會牽涉到一些線性代數的基礎，有興趣的話，我們可以看看〈Understanding of homogeneous coordinates〉（https://bit.ly/2KECitX）。

齊次座標用第四個分量來代表點，這表示直角座標中的同一個點(Px, Py, Pz)，與之對應的齊次座標可以有無數個，也就是說(1, 2, 3, 1)、(2, 4, 6, 2)、(3, 6, 9, 3)等都代表著同一點(1, 2, 3)，也就是說，對於齊次座標中的點(Px, Py, Pz, w)，對應的直角座標點是(Px/w, Py/w, Pz/w)。

這就表示，當轉換公式涉及某分量的除法時，透過齊次座標可以化為矩陣運算。例如，公式轉換中，若x'=near*x/z，y'=near*y/z，z'=z，就可以用齊次座標[near * x, near * y, z, z]來表示；也就是說，計算用的矩陣若以列為主（row-major）撰寫的話，會是[near, 0, 0, 0, 0, near, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]。

一旦線性轉換公式可以化為矩陣運算，那麼，就能將各種轉換予以組合，最後得到一個矩陣，也就是說，若打算進行縮放、旋轉、平移等n個轉換操作，對象是1,000個頂點，直接用函式實作個別轉換公式的話，必須進行n*1000的呼叫；相對地，如果使用一個結合了n個轉換的矩陣，就只需要1,000次計算，若轉換對象是圖像的像素的話，這樣的差異會更為驚人。

不是都有程式庫/框架嗎？

是的，3D程式設計也會有現成的程式庫或框架，來做這類的轉換操作，然而，別以為這樣，就可以輕鬆了事。

最起碼，還是要先搞清楚它採用的座標系統，以及相關的參數意義，最好的方式，是親自導證一次縮放、旋轉、平移、投影等矩陣等是怎麼來的，這會讓開發者在轉換座標系統時，更為得心應手。

對齊次座標與矩陣轉換有興趣的話，不妨可以看看〈Interactive guide to homogeneous coordinates〉（https://bit.ly/2ZgpNHU），該文從程式人的角度，提供互動的方式，來協助你認識齊次座標與矩陣轉換。別以為這只是數學，正如該文中所談到的：「認識選擇的框架背後的數學，寫出來的程式碼才會有效率」。