NumPy廣播以簡馭繁

使用NumPy處理資料時，我們可以將資料看成一個整體進行運算，例如，若nums1是個NumPy陣列，不管維度多少，我們都可以直接進行nums1+1的運算，而其結果，就是元素的值全部加1。

然而，不單只是純量數字可以這麼做，不同維度的陣列彼此之間也可以這麼做。例如，nums1+[1]也是可以的，如果nums2是個2x3的二維陣列，也可以進行nums2+[1,2,3]之類的運算。

基本上，NumPy的入門文件都會提到上述概念，而且，這種便利性要歸功於NumPy廣播（broadcasting）機制。

簡單來說，NumPy提供的內建的許多函式或方法，會試著將陣列調整為相同的形狀，像是方才的nums+1、nums+[1]，我們可以直覺地想成，將1逐個加到元素就可以了，而nums2+[1,2,3]可以看成[1,2,3]與nums2的各列（row）配對相加。

不過，你可別因為nums2+[1,2,3]的關係，就誤以為廣播機制是逐列複製。

由於nums2+也能運算，其結果與nums2+相同，但是，並非各種維度都能混在一起計算，例如，nums2+[1,2]就會發生無法廣播（could not be broadcast）的錯誤。

身為開發者，當然就會想一探廣播機制，NumPy官方文件提供了相關說明，在〈Broadcasting〉就可以看到廣播的四個規則，以及輸入陣列能進行廣播的（broadcastable）三個條件。

不過，當中單純而冗長的文字描述，實在令人如墮五里霧中，而在閱讀網路上搜尋的文件之後，仍不明就裡，就算當中加上了圖解，也還是有點霧裡看花。

在官方網站上，我試著理解廣播的規則與輸入陣列條件時，當我往上捲動了文件，然後，狐疑了一下：「嗯？為什麼廣播的說明是放在〈Universal functions〉這個標題之中？」

Universal函式的觀點

試著先拋棄理解規則與條件，從Universal函式的觀點來看廣播吧！

事實上，Universal函式文件在內容的一開頭就寫道：Universal函式會逐一處理陣列上的元素（operates on ndarrays in an element-by-element fashion）。

理解廣播的出發點，其實就在「逐一處理」這個動作，無論是幾維，形狀為何，Universal函式底層最後關心的，都只是單一元素如何處理。

如果你定義了普通的函式，想透過numpy的frompyfunc向量化，以建立Universal函式，之後，你的普通函式要進行實作時，只要處理傳入的單一元素就可以了。

例如，想實作陣列相加的Universal函式：

def add(elem1, elem2):
       return elem1 + elem2 # 只要關心單一元素的處理
add = np.frompyfunc(add, 2, 1)

接下來，要進行add(a,b)時，最簡單的情況是a與b維度相同，這時，Universal函式（向量化後的add）只要一對一地將元素傳入你指定的普通函式；如果a是np.array([1, 2])而b是1呢？當兩者維度不同，Universal函式找出維度較大的陣列a，令b的維度與之相同，這時，我們可以想像b被視為np.array([1])。

現在維度相同而形狀不同，a的形狀是(2,)，擴充後的b形狀是(1,)，Universal函式為了能一對一處理，會在每取出a的一個元素時，b的1就用一次，可以想像b被視為[1, 1]了，這就是〈Broadcasting〉中談到的第四個規則。

之所以會說「可以想像b被視為……」，是因為實際上，原始的b不會真的被擴充為陣列，只是就使用者的角度來看像是被擴充罷了。

就方才的說明，a的維度是1，形狀為(2,)，b原本維度是0，形狀為()（純量n可視為np.array(n)），計算過程就像是在低維度的陣列增加維度，也就是b形狀上從()變為(1,)，這就是〈Broadcasting〉中談到的第一個規則「在低維度陣列的形狀前附加1（have 1’s prepended to their shapes）」，接下來改變形狀為(2,)的動作，就是規則二下的結果。

廣播後的形狀

簡單來說，想要理解廣播機制，我們可以假設自己是Universal函式的實作者，思考一下輸入陣列該如何處理，後續才能一對一、逐一處理元素，例如，來看看二維陣列的情況。

如果a是np.array()，而b是，Universal函式處理時，確認兩者維度是相同的，這時，不用套用規則一了，然而，形狀上a是(2,3)，b是(1,3)，在形狀不同時，我們可以從低維度的軸開始調整形狀，也就是依軸0、軸1的順序來處理，在處理軸0時，為了令b成為(2,3)，[7,8,9]在軸0方向擴充為，接著，就可以逐一運算元素。

如果是b是np.array()呢？因為a、b維度相同，不用套用規則一，然而形狀a的形狀是(2,3)，b是(2,1)，軸0大小相同，因此處理軸1，為了令b成為(2,3)，[7]在軸1方向擴充，[8]在軸1方向擴充，結果就是，兩個陣列維度相同，形狀相同了，接著逐一運算元素。

以上兩個例子，從低維度的軸開始調整形狀時，若不是1，或相同大小，廣播機制就無法運作，這也是規則四談到的情況。

例如，若b是，與a維度相同，然而形狀一個是(2,3)，一個是(3,1)，軸0的大小既不相同、也不是1，NumPy不知道怎麼調整為相同形狀，這時，就會發生無法廣播的錯誤；類似地，b若是，形狀是(1,2)，軸0的大小既不相同、也不是1，NumPy此時也會因不知道如何調成相同形狀，而發生錯誤。

以簡馭繁的方式

簡單來說，我們如果從Universal函式的角度來看，〈Broadcasting〉當中所列出的四個規則，是試著讓使用者不用理解Universal函式運作原理的情況下，綜合出來的結論，而三個條件，是Universal函式接受的引數（陣列或純量）該有的限制。

當然，運用廣播機制時，最重要的是易於撰寫與閱讀，若是遇到一些需要自行撰寫複雜廣播的場合，可以試著先搜尋看看有無封裝好的函式。

例如，numpy的ix_函式可用來協助建立取陣列叉積（cross）的索引陣列，其底層就封裝了複雜的廣播機制，透過這類封裝了細節的函式，對於程式碼的撰寫與閱讀會有很大的幫助。

當然，還是會有需要理解廣播以撰寫或閱讀相關程式碼的場合（例如理解ix_函式原理），這時的出發點就是「Universal函式會逐元素處理」。

而為了達到這個目的，我們思考的順序會是「Universal函式會檢查維度」，必要時「將低維度的陣列維度增加（形狀前加1，直到維度相同）」，然後「從低維度的軸開始調整形狀（必須是1或相同大小）」。

至於〈Broadcasting〉中的規則與條件，可以輔助思考當然很好，如果沒什麼輔助作用，也不必太在意了。