圓與球中的數學

生活中存在許多與圓或球相關的符號或物品，然而，是否想過：真正的圓或球只是數學上的概念，實際上並不存在嗎？例如，根據維基百科「圓」條目，其定義是「同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合」，簡單來說，圓心到圓周上各點距離都相等，但這在現實不可能出現。

對許多人來說，這違反直覺，透過圓規等工具，不就可以畫出漂亮的圓嗎？

不！無論筆再怎麼細，放大到一定程度來看，一定會有不連續。就電腦繪圖來說，圓其實就只是正n多邊形，或者看成是n個相同的等腰三角形。

若要畫出完美的圓，n必須趨近於無限，而無限是一個概念，而不是個數，只不過在電腦繪圖上，一般只要取n為96就足夠了，因為再大的n，多數的人也看不出差異了。

世上沒有完美的圓

許多與圓相關的問題，其實都違反許多人的直覺，面對這些問題需要數學上的思考。

例如：「在圓中均勻地散布點」。因為圓的公式是x=r*cos(θ)、y=r*sin(θ)，許多人會隨機地取0到圓半徑R間的值作為r，0到360度間的值作為θ，再計算出座標。但這是錯的，因為結果是越接近圓周的點越稀疏，越接近圓心的點越密集。

解決的方式之一是，在圓的外接正方形中隨機散布點，若點落於圓內就保留，否則就去除，這令人聯想到蒙地卡羅法求圓周率，不過，這方法容易有許多點落在圓外，計算上顯得沒有效率。

有人則用圓公式x^2+y^2=R^2來解，會先隨機生成0到圓半徑間的x，再用來計算出y。然而，這是錯的，由於x^2的關係，x影響力會變大，從而令y範圍變小，形成了越接近圓周的點越密，越接近圓心的點越稀疏。

正確的方式應該是，隨機生成0到360度間的θ，以及0到1間的n，求得r =sqrt(n)*R，再用x=r*cos(θ)、y=r*sin(θ)求座標。關於這些計算，我們可以在線上數學百科全書MathWorld的〈Disk Point Picking〉條目中，找到相關的說明。

地球上最接近完美的球

既然沒有完美的圓，也就不會有完全的球，地球本身不是嗎？不！兩極間的半徑與赤道上的半徑，大有幾十多公里的差距，目前地球上最接近完美的球，是由多國科學家聯合，耗費五年製作出來的高純度矽晶球，一顆要價一百萬歐元左右，第一顆矽晶球目前在德國，而2018年臺灣購買了第二顆，這高純度矽晶球，若放大到地球的層級來看，相當於兩極間的半徑與赤道上的半徑，差距縮小到不到十公尺，相對而言是比較接近完美了。

面對球，也有許多與直覺不同的概念。

例如，在平面幾何中，構成兩點間最短的距離會是直線，而在球面幾何中，構成兩點間最短的距離不是直線而是弧線，其專門名稱是測地線（geodesic）。同時，在平面幾何中，夾角被定義為兩直線間的角度，而三角形的三個角和會是180度，而球面上三角形的夾角是兩個大圓的弧，內角和會大於180度。

在電腦繪圖中，要怎麼構造球的三維模型呢？有非常多種方式，最簡單的一種方式是，將平面上的圓在三維空間中繞軸旋轉，每次旋轉後的圓會構成經度部份，將圓上某點旋轉後的點連接起來，會構成緯度部份。

因為沒有完美的圓，這種方式構成的圓，其實也就是多面體罷了，而且，極點附近的點會比赤道附近的點密集，然而，好處是，面的頂點索引非常容易構造，而且要對球面貼圖時，可以很容易地對應至圖片來源座標，貼圖來源座標通常用u、v代表，因此，這種球又稱為UV球（UV sphere），最常見於CAD建模軟體之中。

球面不可能直接攤成平面，想將橘子皮攤平只會讓它變形，相對地，將平面圖貼到球上只會變形，而將球對應至平面，自古一來一直在做，成果就是至今各種的地圖投影法。

例如，常見的平面地圖多半採用麥卡托投影法，它在赤道附近的面積看來會變小，兩極看來會變大，舉例來說，地圖上非洲的面積看來還好，然而，實際上卻是超大，就連印度、美國、歐洲、中國加起來，都沒非洲大。

方才談到在圓中均勻地散布點，並不是單純地隨機取r、θ，類似地，想在球上均勻地散佈點，也不是單純地隨機取r、θ、φ，然後用球座標公式來計算，這會造成兩極密集而赤道稀疏的情況。

想在圓上均勻取布點，我們可以在線上數學百科全書MathWorld的〈Sphere Point Picking〉條目中，找到相關的說明；另外，要注意！物理與數學上的球座標，θ、φ的定義不同喔！

柏拉圖多面體只有五個

上述球上均勻地散布點，是指點的密度均勻，沒有哪邊過密或過疏的問題；另一個球上散布點的問題是「球面n個點，相鄰的點間距離相等」，但能滿足此需求的n只有五個，也就是4、6、8、12與20。

換言之，只有柏拉圖多面體的頂點才有可能如此，因它們的頂點位於外接球，也因為是正多面體，球面相鄰的頂點間等距，而柏拉圖多面體只有五個。

這個問題退而求其次，是讓球面n個點中，距離相等或相近的相鄰點數量儘可能地多。而且，此問題是至今許多人的論文研究主題，多半是基於球面螺線，先前專欄〈螺線之美與用〉談過的費式球、鮑爾螺線，以及〈Point Picking and Distributing on the Disc and Sphere〉，都是相關的瞭解方向。

既然可以儘量地讓球面n個點彼此距離相等或相近，若將這些頂點連接成三角面，構成的多面體看來，其中每個三角形在視覺效果上會接近正三角形，麻煩的是面索引的計算，不過，因為這些頂點會構成凸多面體，所以，我們可以用三維的凸包（hull）演算，來求得每個三角面的索引。

另一種方式是取柏拉圖正二十面體，因為它每個面就是三角形，可以對每個面細分出四個三角形，再將各三角形的頂點投影至球面，若細分三角面的次數越多，就會更接近完美的球，由於過程中被細分出來的面都是三角形，要建立三角形索引相對就簡單多了，視覺效果大致上也像是正三角形。

因為正二十面體原文icosahedron，這種球稱為isosphere。一些CAD建模軟體（像是blender）會提供這種球體，便於進一步以頂點來建立模型，但它在貼圖方面會比UV球麻煩一些，有興趣的人可以參考〈球的N種畫法〉。

實際上，其他的柏拉圖多面體，也可以採用這種先細分再投影至球上的做法，而這類逼近球體的方式構造出來的多面體，稱為測地線多面體（Geodesic polyhedron），在面數少的情況下，可營造出不同的視覺效果。

從圓與球中學數學

關於圓與球的需求很多，不過，實際在面對時，能尋得的相關資料，卻是相對地少，大概是因為畫圓或畫球對許多人來說，只是個簡單需求，或者就算是實現的方式是錯的，也能勉強滿足需求吧！

有機會的話，你可以試著認識一些從圓或球延伸出來的需求，這時，可藉由以上提及的資源或關鍵字出發，從圓與球中認識一些數學上要考量的要素。記得，圓與球有時並不如直覺中那麼的單純。